14 novembre 2010

Fibonacci e la Sezione Aurea

fibonacci, spirale aurea
A cura di Anticorpi.info

LEONARDO FIBONACCI
Il suo vero cognome era probabilmente Bigollo, ma è entrato nella Storia come Leonardo Pisano (dal nome della sua città) oppure Leonardo Fibonacci, cioè “figlio di Bonaccio“.
Nacque intorno al 1170, ma niente si sa a proposito della sua morte, come spesso accade per i personaggi più affascinanti della storia.

Viaggiando con il padre, ispettore di dogana in Algeria, Fibonacci venne in contatto con la civiltà islamica, che allora era la principale erede della cultura classica: in particolare, gli arabi erano riusciti non solo a conservare, ma anche ad arricchire con elementi indiani e forse cinesi le conoscenze matematiche del mondo antico, in un periodo in cui l’Europa subiva le conseguenze anche culturali della lunga crisi seguita alla caduta dello Impero Romano.

Dopo avere appreso la matematica dagli islamici la importò in Occidente rielaborando l’aritmetica e l’algebra di Al-Khuwarizmi e anticipando di tre secoli l’introduzione massiccia in Europa delle cifre arabe e della numerazione posizionale indiana. 

Nel 1202 pubblicò il Liber Abbaci in cui  oltre a fornire accurate spiegazioni matematiche di carattere mercantile, propose il 'problema dei conigli', aprendo la via a una speculazione mistica e filosofica sulla geometria sacra e il simbolismo esoterico.

IL PROBLEMA DEI CONIGLI
Si pensi di avere una coppia di conigli il 1° gennaio che generi un’altra coppia di conigli il 1° febbraio e così via per tutti i mesi dell’anno il primo giorno di ogni mese. Ipotizzando che ciascuna nuova coppia produca a propria volta una nuova coppia di conigli il primo giorno di ogni mese a partire dal secondo mese di vita, si chiede quante coppie di conigli si avranno alla fine dell’anno. Il 1° febbraio la prima coppia genera la seconda, mentre dopo un mese si avranno in totale 3 coppie, perché solo la prima era in grado di procreare.

fibonacci, conigli

Allo stesso modo, al mese successivo si avranno in totale 5 coppie, perché solo 2 delle 3 che si avevano ne hanno generato una ciascuna. Così non è difficile verificare che le coppie di conigli saranno 2 il 1° febbraio, 3 il 1° marzo, 5 il 1° aprile, 8 il 1° maggio, 13 il 1° giugno, 21 il 1° luglio, 34 il 1° agosto, 55 il 1° settembre, 89 il 1° ottobre, 144 il 1° novembre, 233 il 1° dicembre e 377 il 1° gennaio successivo.

La successione numerica ottenuta è detta Serie di Fibonacci ed è ricostruibile in base a una semplice relazione: ogni numero è dato dalla somma dei due che lo precedono.

LA SERIE DI FIBONACCI
serie di fibonacciIniziando dai numeri 0 e 1 si avrà quindi una delle più semplici Serie di Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…

La cosa più sorprendente è ritrovare i numeri di Fibonacci in innumerevoli settori; architettura, arte, biologia, specie in botanica e zoologia, ed in relazione alla Spirale Aurea. 

Il Numero Aureo Φ, le sue potenze, le proporzioni della Grande Piramide, il segreto delle opere di Fidia, la Divina Proporzione di Luca Pacioli e tante altre connessioni trovano la loro mistica coerenza negli studi di Fibonacci e in un cosmo ordinato e mai casuale.

La ricorrenza dei numeri di Fibonacci in natura era già nota nella antichità e ad esse si fa spesso riferimento come “rapporto aureo” o “divino”, a significare che durante i millenni si radicò la convinzione che tali proporzioni esprimessero qualche regola universale o legge di natura. Gli antichi greci erano convinti dell'armonia geometrica dell’universo.

FIBONACCI E LA BOTANICA
I numeri di Fibonacci si riscontrano nella fillotassi. La fillotassi è l'ordinamento delle foglie su un gambo o su di un ramo, o l’ordinamento dei semi o degli stami di alcuni fiori. 

Uno dei problemi aperti della botanica è capire quali sono i meccanismi della fillotassi e come mai alcune disposizioni sono in natura molto più comuni di altre.

In botanica le foglie sui rami e i rami lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendono massima l'esposizione al sole, alla pioggia, all'aria. Perciò un fusto verticale produce foglie e rami secondo schemi regolari. La successione delle foglie e dei rami ha una componente rotatoria che, con l'avanzamento verso l'alto, traccia intorno al fusto un'elica immaginaria; partendo da una foglia qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri dalla spirale si trova sempre una foglia allineata con la prima. A seconda della specie, questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottava, la tredicesima, etc… Inoltre, il numero di giri compiuti per trovare la foglia allineata con la prima è generalmente un numero di Fibonacci;  per il nostro esempio il numero di giri è 5

Il quoziente di fillotassi è il rapporto tra numero di giri di due foglie simmetriche. Il quoziente equivale quasi sempre a due cifre consecutive o alternate della successione di Fibonacci.   
                                                                                        
Il numero dei petali di un fiore è spesso un numero di Fibonacci; In natura esistono fiori ad un solo petalo (calle), fiori con due petali (euphorbia), fiori con tre petali (trillium), fiori con 5 petali (columbine), fiori con 8 petali (bloodroot), fiori con 13 petali (black-eyed susan), fiori con 21 petali (shasta daisy), fiori con 34 petali (daisy), ecc.
La crescita di alcune piante (come ad esempio la Achillea ptarmica) segue uno schema ben definito. Ogni ramo impiega un mese prima di potersi biforcare. Al primo mese quindi abbiamo 1 ramo, al secondo ne abbiamo 2, al terzo 3, al quarto 5 e così via. Anche il numero delle foglie sui rami è un numero di Fibonacci.

Pigne
La filotassi delle brattee delle pigne segue un andamento a spirale aurea. Le brattee delle pigne si dispongono in due serie di spirali dal ramo verso l'esterno, una in senso orario e l'altra in senso antiorario. Uno studio su oltre 4 mila pigne di dieci specie di pino ha rilevato che oltre il 98 per cento di esse conteneva un numero di Fibonacci nelle spirali che si diramavano in ogni direzione.  Inoltre, i due numeri erano adiacenti, o adiacenti saltandone uno, nella sequenza di Fibonacci, per esempio 8  spirali in un senso e 13 nell'altro, o 8 spirali in un senso e 21 nell'altro.

Margherite
Esaminando la disposizione dei capolini di una margherita si osservano due famiglie di spirali, composte la prima da curve ruotanti in senso antiorario, l’altra da curve ruotanti in senso orario. Ebbene, in moltissimi casi i numeri di curve che compongono le due famiglie sono due numeri di Fibonacci consecutivi! Per esempio, in figura,  si distinguono 34 spirali che ruotano in senso orario e 21 spirali che ruotano in senso orario.

Ananas
Le scaglie dell'ananas presentano un'aderenza ancora più costante ai fenomeni di Fibonacci: non una sola eccezione fu trovata in un test compiuto su duemila ananas.

FIBONACCI E LA ZOOLOGIA
Nautilus Pompilius
fibonacci, nautilusLa conchiglia del Nautilus Pompilius ha una forma che richiama la spirale logaritmica equiangolare.

Il Nautilus è un mollusco molto diffuso nell'Oceano Pacifico e in quello Indiano. La sua conchiglia di colore bianco con screziature arancio è suddivisa all’interno in una serie di camere collegate da un canale sifone) che permette la circolazione dei liquidi da un vano all’altro. 

La struttura della conchiglia è alla base del meccanismo che regola gli spostamenti verticali e il galleggiamento del Nautilus. Quando una camera si svuota tramite il sifone dei liquidi presenti al suo interno, si riempe di gas. Variando opportunamente il rapporto tra la quantità di gas e quella dei liquidi nelle camere, Il Nautilus è in grado di scegliere a che profondità portarsi.

Nella struttura della conchiglia del Nautilius si riscontra la presenza della sezione aurea. Gli archi della spirale aurea riproducono la forma con la quale il Nautilus crescendo ingrandisce la propria conchiglia. Il rapporto tra una spira del Nautilus e la successiva equivale a quello tra due numeri successivi di Fibonacci, che e' il numero aureo.

Api
L'albero genealogico di un fuco presenta chiaramente la sequenza di Fibonacci. In uno sciame le api non sono tutte uguali: ci sono api (femmine) e fuchi (maschi). Le femmine sono generate dall'unione dell’ape regina con un fuco e si dividono in operaie e regine. Le api regine sono api operaie nutrite con pappa reale ma, diversamente dalle operaie, sono in grado di produrre uova. I maschi nascono dalle uova dell'ape regina. Le femmine hanno 2 genitori: l’ape regina e un fuco, mentre i fuchi hanno un solo genitore, l’ape regina. Se prendiamo in esame l'albero genealogico di un fuco, vediamo che esso ha 1 genitore che a sua volta ha 2 genitori che a loro volta hanno 3 genitori che a loro volta hanno 5 genitori e così via.

FIBONACCI E LA CHIMICA
La successione di Fibonacci è legata anche alla struttura di alcuni cristalli particolari, detti quasi-cristalli, i quali possono essere 'affettati' in modo tale che gli atomi della superficie seguano esattamente lo schema di una tassellatura di Roger Penrose.

Essa è la più semplice tassellatura aperiodica che mostri simmetria di rotazione di quinto grado:  la tassellatura non ha simmetria di traslazione, ovvero non si ripete mai uguale a sé stessa, ma ruotandola di 1/5 di giro si ottiene una tassellatura identica. Ma qual è la relazione tra Tassellatura di Penrose  e φ?

E’ presto detto: i “tasselli” di Penrose altro non sono che “pezzi” presi da un pentagono con inscritto un pentagramma, per cui tutte le strette correlazioni tra queste figure e φ si riflettono sulla tassellatura di Penrose. I due tasselli fondamentali si ottengono dai triangoli rossi e da quelli gialli. Questi poi possono essere combinati per formare dei rombi, o usati direttamente e accostati secondo certe regole per formare la tassellatura. 

Oltre alle proprietà più ovvie derivate dalla natura dei tasselli, come le molte risultanze del numero φ nelle proporzioni della figura e la comparsa nelle tassellature di decagoni e pentagoni formati dallo accostamento dei tasselli, ci sono altre proprietà meno ovvie. 

Sembra, ad esempio, che il rapporto tra il numero di tasselli di un tipo e il numero di tasselli dell’altro tenda a φ. Sembra inoltre che all’interno della figura tendano a formarsi spirali auree e altre disposizioni particolari e che la frequenza di tali disposizioni segua la sequenza di Fibonacci. 

Non è però chiaro se tali proprietà dipendano solo dalla natura della tassellatura oppure dal modo specifico che si usa per tassellare (ricordiamo infatti che la tassellatura di Penrose non è un metodo univoco, ma esistono numerosi modi per realizzarla).

FIBONACCI E L'ASTRONOMIA
Nel Sistema Solare i pianeti interni distano dal Sole nelle proporzioni della successione di Fibonacci (Mercurio 1 Venere 2, Terra 3, Marte 5)  e quelli esterni distano ugualmente da Giove (Saturno 1, Urano 2, Nettuno 3, Plutone 5); anche grazie a questa coincidenza gli astronomi riuscirono a determinare l’esistenza di Nettuno.

Da osservazioni sperimentali si è scoperto che alcune Galassie, tra cui la via Lattea, presentano bracci luminosi di formazione stellare che si estendono dal centro seguendo il tracciato di una spirale aurea. Anche la coda delle comete assume la forma di spirale aurea.

FIBONACCI E L'ARCHITETTURA
Il Partenone
La pianta mostra che fu costruito su un rettangolo 'radice quadrata di 5', cioè che la lunghezza è radice di 5 volte la larghezza. 

fibonaci, partenone

Il Partenone contiene molti rettangoli aurei. Ne deriva un aspetto armonico, che ispira una profonda sensazione di equilibrio. La proiezione ortagonale della facciata mostra come essa sia stata costruita su un rettangolo aureo, in modo che la larghezza e la altezza stiano nel rapporto: F:1 (la F è in onore di Fidia, cioè colui che progettò il Partenone).

La proporzione aurea è presente anche nel tempio di Atena, in Paestum.

La Grande Piramide
Uno dei casi più dibattuti circa l'antico Egitto riguarda la presenza della sezione aurea nella piramide di Cheope presso la Piana di Giza. La piramide è anche l'unica delle sette meraviglie ad essere giunta fino a noi intatta.

Il mito esoterico-numerologico che circonda la Grande Piramide nasce dall'opera di John Taylor: The Great Pyramid: Why Was it Built and Who Built it? (1859) suffragata dagli studi dell'astronomo e piramidologo Charles P. Smyth.

FIBONACCI ED I CERCHI NEL GRANO
Se l’uomo è destinato a tornare al cosmo, come avverrà tutto ciò? 
I crop circle sembrano contenere la risposta ed è proprio la spirale di Fibonacci ad indicarci la strada. 

Il 7 luglio 1996 presso Stonehenge è apparsa una formazione raffigurante la Sezione Aurea e il Diagramma di Fibonacci.

fibonacci, cerchi nel grano

Questa forma è il risultato di una sequenza di numeri interi, nei quali ogni singolo valore è dato dalla somma degli ultimi due. 

Ogni valore ottenuto è riportato in un diagramma che assume la forma di una spirale, perfettamente coincidente con quanto rappresentato nel crop circle di Stonehenge: forse i "circlemakers" hanno voluto comunicarci come è possibile arrivare al cosmo. 

Infatti la spirale aurea è basata sul valore di 1,615 che è un numero ricorrente in natura.

La sequenza numerica di Fibonacci, basilare per la geometria sacra delle civiltà antiche, è la chiave per capire come la natura disegni le sue creature. 

E' quanto stiamo scoprendo, accettando il fatto che l’Universo abbia più dimensioni o passaggi intercomunicanti in cui i nostri visitatori viaggiano senza problemi, usando delle feritoie in una griglia inter-dimensionale che si dischiude esattamente come una spirale. 

Gli antichi probabilmente lo sapevano già, quando costruivano i loro monumenti sacri rispettando la spirale aurea (forse l’intero complesso di Giza, edificato sulla base della spirale aurea, aveva anche la funzione di collegare una dimensione all’altra). 

IN CONCLUSIONE
Quelle descritte sono appena una piccola parte delle attinenze riscontrabili tra la serie di Fibonacci e una infinita varietà di espressioni naturali, architettoniche ed artistiche.

Ritroviamo il rettangolo aureo in opere come la Gioconda, L'Ultima Cena di Leonardo Da Vinci e la Venere del Botticelli. Nella musica classica, nell'astronomia, nell'informatica e perfino nella conformazione ad elica del DNA.

Fibonacci è stato certamente una delle figure più importanti nel campo della matematica. I suoi studi furono così importanti che tutt'oggi esiste una pubblicazione periodica dedicata solo alla sequenza aritmetica da lui elaborata, il Fibonacci Quarterly. Al matematico è stato anche dedicato un asteroide, scoperto nel 1982, il 6765 Fibonacci.

 
Post tratto dai seguenti siti:

Giovanni Pelosini
Link diretto:
Uniroma
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Gifa
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La Sezione Aurea - Edizione Economica



3 commenti:

  1. Per chi non lo conoscesse, sull'argomento consiglio la visione del Film:
    PI Greco - Il teorema del delirio
    http://www.youtube.com/watch?v=uuiFeDfPhtk

    Per me un grandissimo regista... questo il suo primo film...

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  2. un bel film, di cui non condivido molto il tenore cupo e ossessivo. secondo me il tema - che di suo non è affatto drammatico - si presta ad essere trattato anche con un piglio più ottimistico.

    grazie del commento, e complimenti per i gusti cinematografici :)

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  3. Gran bel pezzo poi te lo rubo , mi guardero anche il film...

    Un saluto

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